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向量的运算的所有公式

发布时间:2022-12-08 00:09:46

  向量的运算的所有公式


  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则, 向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0,0的反向量为0,OA-OB=BA.即“共同起点,指向被减”a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则a-b=(x1-x2,y1-y2)。


  在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指:代表向量的方向;线段长度:代表向量的大小。向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则,向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0,0的反向量为0,OA-OB=BA.即“共同起点,指向被减”a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则a-b=(x1-x2,y1-y2)。


  数与向量的乘法满足下面的运算律:


  结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。


  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.


  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.


  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。


  向量的数量积的运算律:


  a·b=b·a(交换律)


  (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)


  (a+b)·c=a·c+b·c(分配律)


  向量的向量积运算律:


  a×b=-b×a


  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)


  a×(b+c)=a×b+a×c.


  (a+b)×c=a×c+b×c.


  拓展阅读:向量的表达方式


  1.代数表示


  一般印刷用黑体的小写英文字母(a、b、c等)来表示,手写用在a、b、c等字母上加一箭头(→)表示,也可以用大写字母AB、CD上加一箭头(→)等表示。


  2.几何表示


  向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小,向量的大小,也就是向量的长度。长度为0的向量叫做零向量,记作长度等于1个单位的向量,叫做单位向量。箭头所指的方向表示向量的方向。


  3.坐标表示


  在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量,以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数(x,y),这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。